Introduction

这一章，解决的是用prediction的方法，来评估策略$\pi$的问题。

对于Env来说，不是参数已知的MDP 比如元组中a、s、P的关系不确定 or 未知

Prediction -> Control Evaluation -> Optimization

蒙特卡洛法 Monte-Carlo learning

• 定义：在不清楚MDP状态转移及即时奖励的情况下，直接从经历完整的Episode来学习状态价值，通常情况下某状态的价值等于在多个Episode中以该状态算得到的所有收获的平均。

适用于MDP参数未知，回合制更新，遍历了所有状态s

MC是基于大数定律的： 当采样足够多时，就可以代表真值 $N(s)->\infty \Rightarrow V(s) -> V_\pi(s)$

• 说明：
• 均值累计计算可以用$v = sum/N$
• 也可以用累进更新 Incremental Mean

类似于PID的P 增益随着N增大，在逐步缩小 为了简化计算，改写方程，用$\alpha$代替$\frac{1}{N(s_t)}$ 这样可以用固定步长来替代变步长$\frac{1}{k}$ $V(S_t) \leftarrow V(S_t)+\alpha(G_t - V(S_t))$ 可以看做是，$v_{new} = v_{old} + \alpha(v_{target} - v_{old})$，括号里面是误差 可以看到这里的$\alpha$和机器学习里面用的学习率是一个符号

差分法Temporal-Difference learning

MC 在 episode遍历完之后，回合更新，效率低 TD 实现边走边更新

引入时间t的概念

• 直接从episodes 的经验学习
• model-free：不知道MDP的Transition转移和Reward回报
• Bootstrapping自举学习，从部分例子学习

Goal：学习$v_{\pi}$ 的值，under policy $\pi$

时序分析法 TD(0）：

• TD target 是 下一个时刻的$R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)$
• TD误差：$\left(R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-V\left(S_{t}\right)\right)$

Bootstrapping：根据episode表现来更新V值，自举（依靠自己努力获得）

与MC方法区别

估计方法背后的理论

• MC方法：最小化均方根MSE

• TD（0）方法：最大似然估计 max likelihood Markov model Solution to the MDP $\langle\mathcal{S}, \mathcal{A}, \hat{\mathcal{P}}, \hat{\mathcal{R}}, \gamma\rangle$ that best fits the data

总结：DP、MC、TD

• Bootstrapping自举：利用自己估计值update
• Sampling采样 ：更新样本期望

• TD用了Markov特性，因此在MP过程高效
• MC相反，统计规律，非MP过程同样有效

MC: 采样，一次完整经历，用实际收获更新状态预估价值

TD：采样，经历可不完整，用喜爱状态的预估状态价值预估收获再更新预估价值

DP：没有采样，根据完整模型，依靠预估数据更新状态价值

TD(λ)法

视野（深度）影响TD算法的稳定性，但是视野去多深，不知道 因此，综合不同深度的视野，加权求和，即TD$(\lambda)$

扩展TD(0)，视野扩展到N个step，N=全过程时，变为MC

TD（N）推导

对于某个问题来说，没有那个N值是最优的 因此，用几何加权的方法来对视野做平均

Forward 前向视角认知 $TD(\lambda)$

• 例子： 老鼠在连续接受了3次响铃和1次亮灯信号后遭到了电击，那么在分析遭电击的原因时，到底是响铃的因素较重要还是亮灯的因素更重要呢？

• 两个启发：

• 出现频率高的状态

• 出现频率低的状态

$\lambda$：对视野的平均 for iteration： t -> t+1 update value function

引入权重概念，前面的重要，指数衰减

Backward 反向认知TD(λ)：提供了单步更新的机制

Credit assignment： 引入 Eligibility Traces：状态s的权重，是一个时间序列 当s重复出现，E值升高，不出现，指数下降 $E_{0}(s)=0$ $E_{t}(s)=\gamma \lambda E_{t-1}(s)+\mathbf{1}\left(S_{t}=s\right)$

Backward步骤：

• 对每个状态s 创建 迹值
• 对每个状态s 更新 V(s)
• 与 TD-error($\delta_t$) 和 Eligibility trace $E_t(s)$ 成比例

总结

• Offline update：TD(0) = TD($\lambda$) = TD(1)
• Online update： TD($\lambda$)前后向视图不一致，引入Exact online TD($\lambda$)可以解决这个问题
• TD(0) 向后看一步
• TD($\lambda$) 视野距离按$\lambda$指数衰减，叠加
• TD(1) 视野不按指数衰减
• 能在RL中被应用，看中了TD的自举特性