强化学习笔记6：值函数估计Value function Approximation

introduction

v、q表的问题

• 解决离散化的s,a,导致q-table存储量、运算量大
• 解决连续s、a的表示问题

solution

用带权重估计函数，估计v or q

$$\begin{aligned} \hat{v}(s, \mathbf{w}) & \approx v_{\pi}(s) \\ \text { or } \hat{q}(s, a, \mathbf{w}) & \approx q_{\pi}(s, a) \end{aligned}$$

函数估计器

可谓函数逼近，需要函数式可微分的

• 线性组合
• 神经网络

这些不可微

• 决策树 decision tree
• 领域Nearest neighbour
• 傅里叶/ 小波Fourier/ wavelet bases

incremental methods 递增方法

Gradient descent 梯度下降

值函数估计：随机梯度下降法SGD

Table lookup 是 GD的一种特例

类似于机器学习的分类问题，将状态值写成0、1向量

Find a target for value function approximation

把估计函数作为一个监督学习
目标是谁呢，通过MC、TD方法，设定目标

生成训练集

For linear MC

• 无偏目标估计
• 局部最优

For linear TD（0）

• 收敛趋向全局最优

For linear TD（$\lambda$）

$\delta$ scalar number
$E_t$ 维度和s维度一致

• 前后向 相等

Incremental Control Algorithms

用q函数，替代v函数

收敛性分析

• 预测学习

  • On-policy：一般边训练，边执行，(s,a)是当前policy产生的
  • off-policy：离线训练，通过训练其他策略或者agent产生的(s,a)训练集

引入Gradient TD，完全满足贝尔曼方程，无差

• 控制学习

（√）表示在最优值函数附近振荡

batch methods

For least squares prediction

LS定义，估计误差平方，求和

相当于经历重现（experience replay）

• 从history中sample一个batch
• 用SGD更新参数w

找到使LS最小的权重$w^\pi$

Experience Replay in Deep Q-Networks (DQN)

Two features

• Experience Relpay：minibatch的数据采样自memory-D
• Fixed Q-targets：$w^-$ 在一个更新batch内 ，保持不变，让更新过程更稳定
  

算法流程

1. Take action at according to ε-greedy policy
2. Store transition (st,at,rt+1,st+1) in replay memory D
3. Sample random mini-batch of transitions (s,a,r,s′) from D
4. Compute Q-learning targets w.r.t. old, fixed parameters $w^− $
5. Optimise MSE between Q-network and Q-learning targets

$$\mathcal{L}_{i}\left(w_{i}\right)=\mathbb{E}_{s, a, r, s^{\prime}} \sim \mathcal{D}_{i}\left[\left(r+\gamma \max _{a^{\prime}} Q\left(s^{\prime}, a^{\prime} ; w_{i}^{-}\right)-Q\left(s, a ; w_{i}\right)\right)^{2}\right]$$

1. 用SGD更新
   伪算法：
   
   注意：

• Fixed Q-target $\theta$，每C steps 更新一次
• Experience Replay： minibatch 从 memory D 采样

Features：

• 随机采样，打破了状态之间的联系
• 冻结参数，增加了算法的稳定性，选q的网络参数回合制更新

• 例子
  DQN in Atari（构成）
  • input: state s （4 frames pictures）
  • output: Q(s,a)
  • CNN： mapping input(s) to output(Q)

LS 最小二乘法 总结

• Experience replay -> LS solution
• 迭代次数太多
• 用线性估计$\hat v(s,w) = x(s)^Tw$
• 直接求解LS

LSP 直接求解

对于线性近似函数：

$$\hat v(s,w) = x(s)^T w$$

最终的平衡状态，梯度=0
求解方程，得到w值关于状态s和v真值的函数关系

However，真值不知道
缺点是复杂度高，引入了矩阵的逆

Other algorithms