经典控制理论
动态系统建模
通过配置系统输入u(t)，使u(s)G(s)的极点使系统满足一定特性
一阶系统特性
$G(s) = \frac{a}{s+a}$
$\frac{1}{a}$是时间常数$\tau$，对应上升为0.63
$4\tau$对应阶跃响应0.98
二阶系统特性
$m\ddot x+B\dot x+kx=F$
$\ddot x+2\omega_n\xi \dot x+\omega_n^2x=\frac{F}{m}$
阻尼比固有频率:$\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$
单位化：$u(t)=\frac{F}{\omega_n^2}$
$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$
零极点图：
极点全部在左，系统稳定
虚轴长度代表振荡周期
实轴长度代表衰减速度
$\cos \theta$代表阻尼比
SISO system稳定性判据
特征多项式系数判断传递函数稳定性
- Hurwitz霍尔维兹判据：构建霍尔维兹行列式，全部为正
$D1 = a_1$
$D2 = \begin{pmatrix}
a_1&a_3\
a_0&a_2
\end{pmatrix}$
$D3 = \begin{pmatrix}
a{1}& a{3}& a{5}\
a{0}& a{2}& a{4}\
0& a{1}& a{3}
\end{pmatrix}$
- Lienard-Chipard林纳德-齐帕特判据：系数都大于零，奇数或偶数阶次行列式
- Routh劳斯判据：
求$e{ss}$时顺序，1判断稳定性、2求E(s)，3应用终值定理$e{ss} = \lim \limits_{s\rightarrow0}sE(s)$ - 频率稳定判据：
H. Nyquist奈奎斯特判据，开环频率特性，判断闭环稳定性
$F(s) = 1 +G(s)H(s)$的p，极点，是开环传函极点
z零点，闭环传递函数的极点封闭曲线内$R=P-Z$
频率特性
- 只适用于线性定常模型，否则不能拉式变换
- 稳定条件下使用
- bode图单位用dB：20log(Mo/Mi)，表征了能量
- 幅值相应:magnitude response
$\frac{M_o}{M_i} = \left | G(j\omega)\right |$ - 幅角响应:Phase response
$\phi_o-\phi_i = \angle G(j\omega)$ 带阻尼比的共振频率:
$\omega = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}\$
此时的极值：$\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$幅值裕度h：相位为-π时，幅值距0dB的差值
相位裕度$\gamma$:幅值为1（0dB）时，相位距-π的差
根据幅相图，(0,0)出发为开环，(-1,0)出发为闭环不同频段信息
- 低频段$G(j\omega)$反映了系统的稳态精度
0dB/sec->稳态精度 - 中频段：穿越0dB$\omega_c$
反映了系统的平稳性和快速性
-20dB/sec开环积分，闭环一阶，快速性
-40dB/sec开环双积分，闭环二阶，零阻尼，频率段不宜过宽，穿越频率取-20斜率 - 高频段反映了系统对高频干扰抑制能力
系统矫正
串联矫正
超前矫正
$G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts},a>1$滞后矫正
$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts},b<1$滞后超前矫正
两个合起来PID矫正器
复合矫正
前置矫正：指令->Gc(s)->误差，一般补偿分母s，开环前向增益1
干扰前置补偿：干扰测量->Gc(s)->误差，误差->干扰端传函$Gs^{-1}$
根轨迹
（开环->闭环稳定性）:分析G(s)的N、P，看闭环系统稳定性
开环传递函数中开环增益K从0-无穷时，闭环特征根的移动轨迹
单位负反馈闭环传递函数
$\phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$
G(s)是一个
非线性系统
叠加原理不适用
常规分类：
死区
饱和
间隙-滞环
系统收敛：消耗系统能量
系统发散：从外界获取能量
相关词汇
$X{ss}(t)$:ss-steady state
$T_s$Delay time
$T_r$Rise time
$M_p$Max Overshoot
$T{ss}$Setting time调节时间
BIBO:输入稳定，输出稳定bounded input-bounded output
Real:实轴
Im：虚轴
Proportional：比例
Integral：积分
Differential：微分
bounded input-bounded output：稳定性
$\forall$for all ：任意
$\exists$ at least one ：存在
$\left | \cdot \right |$norm：范数
工程数学基础
1. 特征值,特征向量,过渡矩阵$\rightarrow$矩阵对角化
特征值$\lambda$有$\lambda v=Av$
$\ | \lambda I-A\ | = 0$
特征值
解法：将$\lambda$代回$( \lambda I - A) v = 0$
$\lambda_1 、\lambda_2$对应特征向量$v_1 、v_2$
*过渡矩阵：特征向量组成的矩阵
$P =
\begin {pmatrix} v1&v_2
\end {pmatrix}$
$AP=A[v_1 v_2] = [Av_1 Av_2]=[\lambda_1v_1 \lambda_2 v_2]=
\begin{bmatrix}
\lambda_1v{11} & \lambda2v{21}\
\lambda1v{12} & \lambda2v{22}
\end{bmatrix}
=P\Lambda
$
所以有，单位向量矩阵P将A特征值对角化矩阵
$P^-1AP = \Lambda$
2. 线性化 Linearization
非线性：$1/x,\sqrt{x},x^n等$
- 用泰勒级数展开
在平衡点(Fixed point)$x_0$附近线性化
- 令导数项为0，求得平衡点x的值$x=x_0$
- 把$x\sigma = x_0 + x_d$代入$f(x\sigma)=f(x0)+f’(x_0)(x\sigma-x_0)$
- 把$x = x_\sigma$代入微分方程
将$\sigma$的x用x_0和x_d替换，然后
得到了关于x_d的线性化微分方程
$\dot x = A x + b u$求A的雅可比矩阵
行是函数，列为对变量的偏导；
求平衡点，代入偏导雅可比矩阵；
展开得到线性化后的微分方程
3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system）
卷积：$x(t) = f(t)*h(t)=\int0^t f(\tau)h(t-\tau)d\tau$
$f(t)$=输入
$h(t)$=单位冲激响应
$L{卷积}$=L乘积
4. 欧拉公式Euler’s Formula
$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$
5. 复数Complex Number
$\sin(x) = C\rightarrow x = \pi/2+2k\pi + \ln(C\pm\sqrt{C^2-1})i$
$Z = a + b i $
$Re(Z) =a $
$Im(Z)=b $
$\left | Z \right | = \sqrt{a^2+b^2}$
$Z = \left | Z \right | \cdot (\cos\theta+i\sin\theta)= \left | Z \right | \cdot e^{i\theta}$
$Z_1 \cdot Z_2 = \left | Z_1 \right | \left | Z_2 \right | e^{\theta_1+\theta_2}$
$Z+\bar Z = 2a$
$Z- \bar Z = 2bi$
6. 阈值选取
Normal Distribution正态分布、高斯分布
$X = (\mu,\sigma^2)$
漏检False Dismissal
误警False Alarm
Advanced控制理论
状态空间：State-Space，包含输入、输出、状态，写成一阶微分方程的形式
$\dot x = A x + B u$
$y = Cx+Du$
稳定性
两种类型
Lyapunov稳定性：有界
$\forall t_0, \forall \epsilon >0, \exists \delta (t_0, \epsilon):\left | x(t_0)\right |<\delta(t_0,\epsilon)\Rightarrow \forall t \geqslant t_0, \left | x(t) \right | < \epsilon$
$a \, of\, \lambda_i \leqslant 0$实部
判断方法：渐进稳定性：
$\exists \delta(t0)>0: \left |x(t_0)\right |<\delta(t_0) \Rightarrow
\lim \limits{t \rightarrow \infty }
\left | x(t)\right | = 0
$
$a \, of\, \lambda_i < 0$实部
判别方法
- 直接方法：解微分方程(Direct method)
求解λ的值，判断正负 - 第二方法：(2nd method)
$(i)V(0) = 0$
$(ii) V(x) \geqslant 0 , in\, D-{0}$ PSD:postive semi definit
$(iii)\dot V(x) \leqslant 0 , in\, D-{0}$NSD:negative semi definit
$\Rightarrow x = 0$
3. 不稳定
存在至少一个特征值实部大于零
相图分析-phase-portrait
plot(x,$\dot x$)，通过x初值，分析点在轨迹上的移动，判断稳不稳定
matlab绘制实例
% 画解微分方程组的相图
clear;cla;clc;
[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5));
streamslice(x,y,0 * x + 2 * y,-3 * x + 0 * y );
xlabel('x');ylabel('y');
特征值和相图的关系
齐次状态方程解$\dot x = A x$
$\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{at}x(0)$
同理，多元线性方程
$\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{At}x(0)$
其中，状态转移矩阵$\Phi(t)$解法
- 数值法：
$\Phi(t) = e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+…+\frac{1}{k!}A^kt^k$ - 解析法：
$\Phi(t) = L^{-1}[sI-A]^{-1}$
性质：
$\Phi(0) = I$
$x(t) = \Phi(t-t_0)x(t_0)$
$\Phi ^{-1}(t) = \Phi(-t)$
非齐次状态方程$\dot x = A x + B u$
$x(t) = \Phi (t)x(0)+ \int_0^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$
初始状态x(0)响应+输入项u(t)响应
线性系统可控性与可观测性
可控性：$\forall x(0),x(t_f), \exists t_f < +\infty , u[0,t_f], st. x(0)\rightarrow x(t_f)$
充要条件：
$S = [b\, Ab\, A^2…\, A^{n-1}b]$
理论可行，但是实际物理不一定
以离散系统为例证明：Matlab 求解，Co矩阵 “ctrb(A,B)”
$rank[S] = n, det \, S \neq 0$
可观性：$\forall t \in [t_0,t_f],已知y(t),u(t),可求x(t_0)$
$rank
\begin{bmatrix}
C\
CA\
CA^2\
…\
CA^{n-1}
\end{bmatrix}
=n
$
引理
$f(\lambda) = \sum{i=0}^{n}a_i\lambda ^i$
$f(A) = 0 \rightarrow A^n = \sum{i=0}^{n-1}a_iA^i$
求解$\left | \lambda I - A\right |$的特征多项式
将$\lambda = A $代入，得到递推公式，解算$A^n$
状态反馈与状态观测器
取$u=v-kx$，其中，v为参考输入，系统闭环矩阵由A变为A-Bk
- 不改变可控性，有可能改变可观性
- 闭环特征值
状态观测器
平凡观测器
对于系统
观测器形式（模拟器）：$\dot {\hat x }=A\hat x +Bu$
定义$e=x-\hat x$
，有$\dot e = \dot x - \dot {\hat x }=A(x-\hat x)=Ae$
结论：没有消除误差的能力，估计误差模型收敛性依赖于系统矩阵$A$，若$\det(A)=0$，则观测器误差不能收敛。
完全Luenberger观测器
观测器分为，模拟器，修正器部分，通过输出y的信息来修正观测器的收敛性。
将$(3)$代入$(1)$
定义$e = x - \hat x$，求解$\dot e$，联立$(1)$和$(4)$
将$(1)$代入$(5)$
测量噪声的影响
考虑测量噪声
系统的观测误差动态为
结论：观测器特征值太大，增益矩阵$L$过大，对测量误差r(t)有放大作用。
分离原理
分别对系统
- 设计观测器
- 设计控制率
- $u = -K\hat x + Sw$
- 对分别设计的观测器和控制器构建扩展状态方程
合成的系统可以描述为$\dot X_e = A_e X + B_e u$
评估扩展动态系统的矩阵$A_e$等于观测器和控制率矩阵的矩阵特征值相乘
有$\det(\lambda L - A_e) = \det(\lambda L - A+BK) \det(\lambda L-A+LC)$
表明：带有控制率和观测器的系统，可以先独立设计，在最后合成
Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现
状态转移矩阵：
这里要改一下，改成估计量
$xt^- = F_t x{t-1} + B_t u_t$
状态转移矩阵:$Pt^-=FP{t-1}F^T+Q$
协方差矩阵:
$
\begin{bmatrix}
\sigma{11}&\sigma{12}\
\sigma{12}&\sigma{22}\
\end{bmatrix}
$
卡尔曼方程≠状态观测器
以小车为例，讲卡尔曼滤波最优状态估计
在上图中，P是观测值$\hat x$的方差
R是观测器中，来自预估值的比例
概率函数相乘，多传感器信息融合
非线性控制理论
ARC
Barbalat’s 引理 lemma
- $V\geq0$
- $\dot{V} \leq -g(t)$, where $g(t)\geq 0$
- $\dot{g}(t)\in L{\infty}$, if $\dot{g}(t)$ is bounded the $g(t)$ is uniformly continous.
Then, $\lim{t->\infty} g(t)=0$
Consquently, $\lim_{t->\infty} e = 0 (k\neq0)$
