经典控制理论

动态系统建模

通过配置系统输入u(t)，使u(s)G(s)的极点使系统满足一定特性

一阶系统特性

$G(s) = \frac{a}{s+a}$$\frac{1}{a}$是时间常数$\tau$，对应上升为0.63 $4\tau$对应阶跃响应0.98

二阶系统特性

$m\ddot x+B\dot x+kx=F$$\ddot x+2\omega_n\xi \dot x+\omega_n^2x=\frac{F}{m}$

阻尼比固有频率:$\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$

单位化：$u(t)=\frac{F}{\omega_n^2}$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$

零极点图： 极点全部在左，系统稳定 虚轴长度代表振荡周期 实轴长度代表衰减速度 $\cos \theta$代表阻尼比

SISO system稳定性判据

特征多项式系数判断传递函数稳定性

1. Hurwitz霍尔维兹判据：构建霍尔维兹行列式，全部为正

$D1 = a_1$

$D2 = \begin{pmatrix} a_1&a_3\\ a_0&a_2 \end{pmatrix}$

$D3 = \begin{pmatrix} a_{1}& a_{3}& a_{5}\\ a_{0}& a_{2}& a_{4}\\ 0& a_{1}& a_{3} \end{pmatrix}$

2. Lienard-Chipard林纳德-齐帕特判据：系数都大于零，奇数或偶数阶次行列式
3. Routh劳斯判据： 求$e_{ss}$时顺序，1判断稳定性、2求E(s)，3应用终值定理$e_{ss} = \lim \limits_{s\rightarrow0}sE(s)$
4. 频率稳定判据： H. Nyquist奈奎斯特判据，开环频率特性，判断闭环稳定性 $F(s) = 1 +G(s)H(s)$的p，极点，是开环传函极点 z零点，闭环传递函数的极点封闭曲线内$R=P-Z$

频率特性

• 只适用于线性定常模型，否则不能拉式变换
• 稳定条件下使用
• bode图单位用dB：20log(Mo/Mi)，表征了能量

1. 幅值相应

   response $\frac{M_o}{M_i} = \left | G(j\omega)\right |$

2. 幅角响应

   response $\phi_o-\phi_i = \angle G(j\omega)$

3. 带阻尼比的共振频率: $\omega = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}\\$此时的极值：$\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$

4. 幅值裕度h：相位为-π时，幅值距0dB的差值 相位裕度$\gamma$

   （0dB）时，相位距-π的差 根据幅相图，(0,0)出发为开环，(-1,0)出发为闭环

5. 不同频段信息

• 低频段$G(j\omega)$反映了系统的稳态精度 0dB/sec->稳态精度
• 中频段：穿越0dB$\omega_c$反映了系统的平稳性和快速性 -20dB/sec开环积分，闭环一阶，快速性 -40dB/sec开环双积分，闭环二阶，零阻尼，频率段不宜过宽，穿越频率取-20斜率
• 高频段反映了系统对高频干扰抑制能力

系统矫正

串联矫正

1. 超前矫正 $G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts},a>1$

2. 滞后矫正 $G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts},b<1$

3. 滞后超前矫正 两个合起来

4. PID矫正器

5. 复合矫正 前置矫正：指令->Gc(s)->误差，一般补偿分母s，开环前向增益1 干扰前置补偿：干扰测量->Gc(s)->误差，误差->干扰端传函$Gs^{-1}$

根轨迹

（开环->闭环稳定性）

非线性系统

叠加原理不适用 常规分类： 死区 饱和 间隙-滞环

系统收敛：消耗系统能量 系统发散：从外界获取能量

#相关词汇 $X_{ss}(t)$

工程数学基础

1. 特征值,特征向量,过渡矩阵$\rightarrow$矩阵对角化

特征值$\lambda$有$\lambda v=Av$$\ | \lambda I-A\ | = 0$特征值 解法：将$\lambda$代回$( \lambda I - A)* v = 0$$\lambda_1 、\lambda_2$对应特征向量$v_1 、v_2$过渡矩阵：特征向量组成的矩阵 $P = \begin {pmatrix} v_1&v_2 \end {pmatrix}$$AP=A[v_1 v_2] = [Av_1 Av_2]=[\lambda_1v_1 \lambda_2 v_2]= \begin{bmatrix} \lambda_1v_{11} & \lambda_2v_{21}\\ \lambda_1v_{12} & \lambda_2v_{22} \end{bmatrix} =P\Lambda$所以有，单位向量矩阵P将A特征值对角化矩阵 $P^-1AP = \Lambda$

2. 线性化 Linearization

非线性：$1/x,\sqrt{x},x^n等$

• 用泰勒级数展开 在平衡点(Fixed point)$x_0$附近线性化

1. 令导数项为0，求得平衡点x的值$x=x_0$
2. 把$x_\sigma = x_0 + x_d$代入$f(x_\sigma)=f(x_0)+f'(x_0)(x_\sigma-x_0)$
3. 把$x = x_\sigma$代入微分方程 将$\sigma$的x用x_0和x_d替换，然后 得到了关于x_d的线性化微分方程 $\dot x = A x + b u$求A的雅可比矩阵 行是函数，列为对变量的偏导； 求平衡点，代入偏导雅可比矩阵； 展开得到线性化后的微分方程

3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system）

卷积：$x(t) = f(t)*h(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)d\tau$$f(t)$=输入 $h(t)$=单位冲激响应 $L_{卷积}$=L乘积

4. 欧拉公式Euler’s Formula

$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$

5. 复数Complex Number

$\sin(x) = C\rightarrow x = \pi/2+2k\pi + \ln(C\pm\sqrt{C^2-1})i$$Z = a + b i$$Re(Z) =a$$Im(Z)=b$$\left | Z \right | = \sqrt{a^2+b^2}$$Z = \left | Z \right | \cdot (\cos\theta+i\sin\theta)= \left | Z \right | \cdot e^{i\theta}$$Z_1 \cdot Z_2 = \left | Z_1 \right | \left | Z_2 \right | e^{\theta_1+\theta_2}$$Z+\bar Z = 2a$$Z- \bar Z = 2bi$

6. 阈值选取

Normal Distribution正态分布、高斯分布 $X = (\mu,\sigma^2)$漏检False Dismissal 误警False Alarm

Advanced控制理论

状态空间：State-Space，包含输入、输出、状态，写成一阶微分方程的形式 $\dot x = A x + B u$$y = Cx+Du$

稳定性

两种类型

1. Lyapunov稳定性：有界 $\forall t_0, \forall \epsilon >0, \exists \delta (t_0, \epsilon):\left \| x(t_0)\right \|<\delta(t_0,\epsilon)\Rightarrow \forall t \geqslant t_0, \left \| x(t) \right \| < \epsilon$ $a \, of\, \lambda_i \leqslant 0$实部 判断方法：

2. 渐进稳定性： $\exists \delta(t_0)>0: \left \|x(t_0)\right \|<\delta(t_0) \Rightarrow \lim \limits_{t \rightarrow \infty } \left \| x(t)\right \| = 0$$a \, of\, \lambda_i < 0$实部

判别方法

1. 直接方法：解微分方程(Direct method) 求解λ的值，判断正负
2. 第二方法：(2nd method) $(i)V(0) = 0$$(ii) V(x) \geqslant 0 , in\, D-{0}$PSD
   semi definit $(iii)\dot V(x) \leqslant 0 , in\, D-{0}$NSD
   semi definit $\Rightarrow x = 0$

3. 不稳定

存在至少一个特征值实部大于零

相图分析-phase-portrait

plot(x,$\dot x$)，通过x初值，分析点在轨迹上的移动，判断稳不稳定 matlab绘制实例

% 画解微分方程组的相图
clear;cla;clc;
[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5));
streamslice(x,y,0 * x + 2 * y,-3 * x + 0 * y );
xlabel('x');ylabel('y');

特征值和相图的关系

齐次状态方程解$\dot x = A x$

$\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{at}x(0)$同理，多元线性方程 $\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{At}x(0)$其中，状态转移矩阵$\Phi(t)$解法

• 数值法： $\Phi(t) = e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+...+\frac{1}{k!}A^kt^k$
• 解析法： $\Phi(t) = L^{-1}[sI-A]^{-1}$

性质： $\Phi(0) = I$$x(t) = \Phi(t-t_0)x(t_0)$$\Phi ^{-1}(t) = \Phi(-t)$

非齐次状态方程$\dot x = A x + B u$

$x(t) = \Phi (t)x(0)+ \int_0^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$初始状态x(0)响应+输入项u(t)响应

线性系统可控性与可观测性

可控性：$\forall x(0),x(t_f), \exists t_f < +\infty , u[0,t_f], st. x(0)\rightarrow x(t_f)$充要条件：

1. $S = [b\, Ab\, A^2...\, A^{n-1}b]$理论可行，但是实际物理不一定 以离散系统为例证明：

Matlab 求解，Co矩阵 “ctrb(A,B)”

2. $rank[S] = n, det \, S \neq 0$

可观性：$\forall t \in [t_0,t_f],已知y(t),u(t),可求x(t_0)$$rank \begin{bmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ ...\\ CA^{n-1} \end{bmatrix} =n$

引理

$f(\lambda) = \sum_{i=0}^{n}a_i\lambda ^i$$f(A) = 0 \rightarrow A^n = \sum_{i=0}^{n-1}a_iA^i$

求解$\left | \lambda I - A\right |$的特征多项式 将$\lambda = A$代入，得到递推公式，解算$A^n$

状态反馈与状态观测器

取$u=v-kx$，其中，v为参考输入，系统闭环矩阵由A变为A-Bk

1. 不改变可控性，有可能改变可观性
2. 闭环特征值

状态观测器

平凡观测器

对于系统

观测器形式（模拟器）：$\dot {\hat x }=A\hat x +Bu$定义$e=x-\hat x$，有$\dot e = \dot x - \dot {\hat x }=A(x-\hat x)=Ae$结论：没有消除误差的能力，估计误差模型收敛性依赖于系统矩阵$A$，若$\det(A)=0$，则观测器误差不能收敛。

完全Luenberger观测器

观测器分为，模拟器，修正器部分，通过输出y的信息来修正观测器的收敛性。

将$(3)$代入$(1)$

定义$e = x - \hat x$，求解$\dot e$，联立$(1)$和$(4)$

将$(1)$代入$(5)$

测量噪声的影响

考虑测量噪声 $y(t) = Cx(t) + r(t)$

系统的观测误差动态为 $\dot e (t) = (A-LC)e(t)-Lr(t)$结论：观测器特征值太大，增益矩阵$L$过大，对测量误差r(t)有放大作用。

分离原理

分别对系统

• 设计观测器
  • $\dot {\hat x} = A\hat x + Bu + L (y - \hat y)\\\hat y = C\hat x$
• 设计控制率
  • $u = -K\hat x + Sw$
• 对分别设计的观测器和控制器构建扩展状态方程 $\underbrace{\left[\begin{array}{c}\dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}}\end{array}\right]}_{\dot{\mathbf{x}}_{e}}=\underbrace{\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}-\mathbf{B K} & \mathbf{B K} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L} \mathbf{C}\end{array}\right]}_{\mathbf{A}_{e}} \underbrace{\left[\begin{array}{c}\mathbf{x} \\ \mathbf{e}\end{array}\right]}_{\mathbf{x}_{e}}+\underbrace{\left[\begin{array}{c}\mathbf{B S} \\ \mathbf{0}\end{array}\right]}_{\mathbf{B}_{e}} \mathbf{w}$

合成的系统可以描述为$\dot X_e = A_e X + B_e u$评估扩展动态系统的矩阵$A_e$等于观测器和控制率矩阵的矩阵特征值相乘 有$\det(\lambda L - A_e) = \det(\lambda L - A+BK) \det(\lambda L-A+LC)$表明：带有控制率和观测器的系统，可以先独立设计，在最后合成

Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现

状态转移矩阵： 这里要改一下，改成估计量 $x_t^- = F_t x_{t-1} + B_t u_t$

状态转移矩阵:$P_t^-=FP_{t-1}F^T+Q$

协方差矩阵: $\begin{bmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_{22}\\ \end{bmatrix}$

卡尔曼方程≠状态观测器

以小车为例，讲卡尔曼滤波最优状态估计 在上图中，P是观测值$\hat x$的方差 R是观测器中，来自预估值的比例

概率函数相乘，多传感器信息融合

非线性控制理论

ARC

Barbalat’s 引理 lemma

1. $V\geq0$
2. $\dot{V} \leq -g(t)$, where $g(t)\geq 0$
3. $\dot{g}(t)\in L_{\infty}$, if $\dot{g}(t)$is bounded the $g(t)$is uniformly continous. Then, $\lim_{t->\infty} g(t)=0$Consquently, $\lim_{t->\infty} e = 0 (k\neq0)$